Лако-красочные материалы — производство

Рассмотрим теперь случай, когда радиус кривизны гранич­ной поверхности — обозначим его через а* — принимает ко­нечные, однако все же настолько большие (по абсолютной ве­личине) значения, что а* > H. При этом расстояние H сохра­няет прежний порядок величины.

Имеются в виду как вогнутые, так и выпуклые поверхности. Поэтому радиус кривизны поверхности, а также и ее главные радиусы кривизны могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

В соответствии со сделанными допущениями будем теперь также учитывать члены порядка H~K+3H/A*. Величинами 0 (H~:И-1), как и прежде, будем пренебрегать. Кроме того, пока будем пренебрегать величинами 0 (H~^+3H2La*2) и 0 (H~^+2H/A*). В пределе а* —> оо результаты этого раздела перейдут в ре­зультаты для случая плоских поверхностей.

Вместо формулы (39) мы будем теперь иметь [25, 26, стр. 182]:

РМ = р«" М + (х-^-з, [‘ + и х

Х 2 л* W> — рм+т^ 2-а®*

S f t S J t

(43)

Как и в случае плоских поверхностных слоев, с помощью (43) легко получить соответствующие формулы для полной ло­кальной плотности и локального состава. Можно получить с помощью (43) также и формулу для локального тензора дав­лений.

Очевидно, тензор будет диагонален в криволинейной си­стеме координат с началом в точке наблюдения, с ocbioZ, пер­пендикулярной к граничной поверхности, и с осями X, Y Вдоль главных направлений этой поверхности (в точке пере­сечения ее осью Z).

Данная криволинейная система X, Y, Z представлена на рис. 2. Линиями изображены главные направления граничной

H

Поверхности в точке, в которой поверхность пересекается с осью Z. Эти главные направления ломечены соответствующими им главными радиусами кривизны поверхности ах и ау. Указано также расстояние H от точки пересечения граничной поверх­ности осью Z до начала криволинейной системы координат X, Y, Z. Это начало совмещено с точкой наблюдения.

Приведем конечный результат расчета диагональных со­ставляющих тензора давлений в указанной криволинейной си­стеме координат [25, 26]:

= + (Х-^-4) £ S м» — рН <44>

S, t

.Fc—M-з

2 (А,— 4) ах

Г-^Р?0 [р}р)-р}а)] +

S. t

(45)

2я

(А, — 2)2 (А — 5) H

2 (А — 4) A^J

S. t

1 , Fr-з) А,

+ 2(1-4) ах

[P}p>-pje)] +

+ 2(ЯА-Т)23) I^PW’

S, *

В отличие от функций распределения и нормальной состав­ляющей тензора давлений Рп — PZzy его тангенциальные состав­ляющие Рхх и PYY. зависят не только от радиуса кривизны по­верхности а*, но и от ее главных радиусов кривизны ах и ау. Разумеется, из этих трех переменных, задающих геометрию поверхности, независимыми являются только две, поскольку,

2 1,1

Как известно, —— — Н————- .

А* ах ау

Выражения (45) и (46), очевидно, симметричны относительно замены ак на ау и ау на ах.

В то время как в выражениях для функций распределения и тангенциальных составляющих тензора давлений член порядка fo-M-зfr/a* ИГрает роль поправочного по отношению к главному члену порядка /1_я-+3, в выражении для нормальной составляю­щей тензора давлений этот член является главным. Действи­тельно, в соответствии с формулой (41) отличие нормальной со­ставляющей тензора давлений от давления в фазе а может быть вызвано лишь наличием кривизны граничной поверх­ности.

Значительно сложнее, чем в плоском случае, проводится про­верка формул (44)—(46) для тензора давлений на согласование с условием механического равновесия. Обращаясь к этому важ­ному вопросу, рассмотрим предварительно два частных случая: цилиндрическую и сферическую граничные поверхности.

В случае цилиндрической поверхности мы имеем ах — оо, Ау = а, где а — радиус цилиндрической поверхности и ось X Выбрана параллельной ее оси.

Обозначим тангенциальную составляющую Рхх через Ptl, А тангенциальную составляющую PYY через Р(2. Можно пока­зать, что условие механического равновесия (10) для систем цилиндрической симметрии имеет вид

1р(грп)=р<. <47>

Где г — расстояние точки наблюдения тензора давлений до оси цилиндрической поверхности.

Подставляя (44) и (46) в равенство (47), убеждаемся, что постоянные члены, а также члены порядка /r-M-з в его левой и правой частях совпадают. Что же касается членов порядка H~K+3H/A и то они содержат вклад от неизвестных членов

В Рп порядка h-*+3h2/a2 и H~^+2H/A.

Мы можем, очевидно, использовать равенство (47) для опре­деления этих неизвестных членов. В результате вместо (44) будем иметь в рассматриваемом случае цилиндрической

194 | Ф. М. Куни, А. И. Русанов

Граничной поверхности [25; 26, стр. 182]:

^(Х — 2)*(1 — 4) а + 2 а2 / Л

Х Е^р{а)[р}р)-р}а)] +

S, t

(48)

Аналогично рассматривается случай сферической поверх­ности. Имеем ах = ау — а, где а — радиус сферической по­верхности. Тангенциальные составляющие Рхх ® ^Yy теперь совпадают: РХх = PYy = Ри а условие механического равно­весия (10) имеет вид

-IF (r2pn) = pt №

Где г — расстояние точки наблюдения тензора давлений до центра сферической поверхности.

Равенство (49) может быть использовано как для проверки правильности уже найденных членов в (44)—(46), так и для определения неизвестных поправочных членов к Рп. С учетом этих поправочных членов будем иметь в рассматриваемом слу­чае сферической граничной поверхности [25; 26, стр. 182]:

Р _ р«*> . 4я Л-М-з / JL Л. 2 — х

(Я — 2)2 (К — 4)

В общем случае слабо искривленной поверхности произ­вольной формы условие механического равновесия (10) имеет вид:

~ ^-hl^-h) Ж IK — H) (% — H) рп] —

РхК +-AV (51)

Ах — h Uy — h

Как и в разобранных выше частных случаях, равенство (51) может быть использовано, с одной стороны, для подтверждения правильности уже найденных членов в (44)—(46), а с другой стороны, для отыскания высших поправочных к Рп. Уточнен-

Ное таким способом выражение для нормальной составляющей тензора давлений принимает вид [25; 26, стр. 182]:

H-w(JL + JL 2^p(«>r}«*> (52)

ах ау / .

Представленные в этом и предыдущем разделах результаты наших исследований молекулярной структуры в системах с плоскими и слабо искривленными граничными поверхностями в течение ряда лет оставались достоянием только микроскопи­ческой теории. Лишь совсем недавно [31, стр. 26] аналогичные исследования были проведены и на основе макроскопической теории дисперсионных взаимодействий [1, 2]. Объектами этих исследований были локальная плотность и тензор давлений. Полученные в главном асимптотическом члене (который только и рассматривался в [31, стр. 26]) зависимости данных величин от расстояния до граничной поверхности и от ее кривизны совпа­дают с приведенными выше.