Лако-красочные материалы — производство

І Іскоторьіе основные положения теории балок приведены в разделе 2.7. В настоя­щем разделе целесообразно рассмотреть как эти положения реализуются в случае анализа изгиба субстратов в нахлестом ном образце |.5|. Значение такого анализа заключается в определении напряженного состояния клееного слоя. Данный ана­литический метод начинается с рассмотрения уравнений (2.48). (2.50) и (2.60) и за­канчивается уравнением (2.68). І Ізученис образца с нахлесткой, используемого при испытании на сдвиг, несколько отличается от анализа изгиба балки. Фактически данный метод представляет собой анализ состояния изгиба тонких, изогнутых по форме цилиндрических поверхностей. Однако в данном случае основные уравне­ния и их вывод аналогичны рассмотренным в п|н*дыдущей главе.

І Іа рис. 3.11 п|тедставлеио клеевое соединение, исследованное Голандом и Рейсис|х>м. Поставленная задача разделена на две части. Сначала исследуется изгиб субстрата, удаленного от области нахлестки. Эта область имеет длину / от торца « обрата. За­тем рассматривается область нахлестки, которая имеет длину 2с. Естественно, что ІКЧНСНИЯ для каждого участка образца должны соответствовать такому положению, при котором эти участки находятся в непосредственном соединении. Эта задача аналогична прогибу батек и поэтому при анализе необходимо рассматривать мо­менты и силы сдвига. I (а рис. 3.12 схематически представлена система координат и направление, в котором действуют моменты и силы сдвига.

ЗА

Схематическое изображение образца, рассмотренного Голандом и Рейснером. Длина субстратов составляет (/’ 2с). Линия нагружения находится между точка­ми а н b и проходит через області» О. Субстраты имеют толщину г

Схематическое изображение, представая книге основу. їли анализа нахлестом ноги образка за пределами клеевого шва. На схеме (а) показана нейтральная ось суб­страта и центр клеевого шва до прогиба (сплошная линия) и после прогиба (пун м ирная линия) балки. Кроме того, показаны оси, рассматриваемые в данном ис­следовании: .г, и относятся к торцам субстрата, в то в|к’мн как з и у, относятся к краям нахлестки. 11а схеме (/>) показаны изгибающие моменты Af для меболыпо — го участка субстрата, силы сдвига V’и приложенная нагрузка F. Схема приведена в соответствии с правилом знаков, что должно учитываться при проведении пол­ного анализа. (Схема взята из работы Іоланда и Рейтера.)

Анализ начинается с формулировки уравнений изгибающих моментов для по­ложений I и 2. Согласно Роланду и Рейтеру выражения для изгибающих моментов имеют следующий вид:

Л/,-Flour,-у,) (3.1)

(32)

Эти уравнения получены исходя из геометрического рассмотрения моментов, возникающих в результате приложения нагрузки F. и нейтральной оси пластины. Необходимо заметить, что F. строго говоря, не является усилием, так как Ft пред­ставляет собой приложенное растягивающее напряжение. Угол а образован направ­лением приложения усилия и координатами т, иди. т, (рис. 3.11 и 3.12). Уравнение (2.(>(>) справедливо для каждого и» этих условий и в данном случае могут быть пред­ложены следующие уравнения:

(33) (3.4)

В указанных уравнениях R называют жесткостью при изгибе пластин (субстра­тов), которая описывайся уравнением

• <35>

где F. — модуль Юнга; t — толщина: v коэффициент Пуассона материала пласти­ны.

Приведенные выше четыре уравнения могут быть объединены в целях получения двух спаренных дік|к})ереїщиальных уравнений второго порядка, для которых мо­жет быть найдено тригонометрическое решение. Необходимо отметить, что в дан­ном случае точно оп|>сделены два момента, связанные е величиной R, один момент для конца субстрата в точке а (с координатами г, и у,); вто|м»й. для точки вблизи клеевого слоя (с координатами, гг и у2).

В данном случае используются граничные условия н некоторые упрощающие до­пущения. Одним из таких допущений является то, что /?, точно соответствует fty’8, так как область нахлестки имеет толщину, приблизительно вдвое превышающую толщину субстрата. Для момента силы сдвига в облает и перехода от субстрата к на­хлестке может быть предложен следующий вид уравнений:

А/

(3.7)

где k — описывается выражением

(3.9)

Данные уравнения используются при анализе сил. действующих в области клее­вою соединения.

ІГелесообразно теперь рассмотреть область нахлестки или, другими словами, об­ласть. обозначенную длиной 2с (рис. 3.11). Область нахлестки делится на два участ­ка: на верхний участок, обозначенный символом и, и нижний имеющий символ /. 11а рис. 3.13 схематично показано такое состояние образца. И данном случае при­нято допущение, что деформация субстратов іі|юисходиі исключительно в резуль­тате воздействия продольного напряжения в направлении оси т субстрата. Учиты­вая это допущение, клееной слой в основном ведет себя как подчиняющееся закону Гука твердое тело, находящееся между двумя субсчетами. Как показано на рис. 3.13, клеевой слой разделен вдоль посередине. Применительно к нему определяют касательное (т) и нормальное (а) напряжения. На рисунке показаны также силы сдвига для каждого элемента (tlx) клеевого шва. Напряжения сдвига обозначены символами Г и Г. где подстрочные индексы относятся соответственно к верхнему и нижнему участкам образца. Аналогичным образом определяются и моменты (М). Используя в некоторой степени абсолютно аналогичный подход, который был при­менен Тимошенко (см. литературу к гл. 2) при решении описанных в предыдущей главе задач, связанных с поведением балки, можно записать следующие условия равновесия для верхнего и нижнего участков клеевого соединения.

( хематичсское представление об акали гическом анализе — облає ги нахлестки в сое­динении, подвергающемся воздействию сил сдвига. Обозначения с и t аналогичны показанным на рис. 3.11. Т толщина клеевого слоя На приведенных в нижней части рисунка схемах показана часть нахлестки длиной dx, которая делится со­ответственно на верхний (и) и нижний (/) участки, при «том о и т представляют соответственно растягивающие и сдвигающие напряжения. Па данном рисунке Г — нагрузка, приложенная к отрезку образца: V сдвигающая сила, приложен­ная к атому отрезку образца; М момент, приложенный к отрезку образца (схема взята из работы Голанда и Ренснсра)

в том числе дли условии вертикальной равновесной составляющей:

dF,

dx T — ” dx

її для условий равновесия сил. приложенных в направлении растяжения субстратов. Приведенные ниже уравнения

(3 12)

описывают равновесное состояние моментов в субстратах. Но аналогии с состоя­нием, расе мот репным в гл 2. и используя уравнение (2.66). можно записать сле­дующее выражение для оценки вертикального перемещения верхнего и нижнего участков субстрата:

d‘i А/. d}v, .U,

R’ lx* ~~R’ (313>

где R жесткость субстрата при изгибе, определяемая но уравнению (3.5).

Далее приведены уравнения для оценки продольных перемещений субстратов вблизи клеевого слоя:

(344)

І Іолнмй ряд уравнений, который был использован Голандом и Рейс пером. тля за­вершения анализа образцов, нртдетакляют собой соотношение между напряжением п де<|и)рмациеіі для материала клеевого слоя, соответствующее закону Гука, опреде­ляемое выражениями:

4, — Ц. О.

Ga т ’ Ея Т ‘ (345)

где Сл п Ек — модуль упругости при сдвиге п |>астяжении.

Обработка всех приведенных выражений начинается с подстановки уравнения (3.11) в первое нз уравнении (3.15), двойного дифференцирования относитель­но х с учетом уравнений (3.11) и (3.12). В данном случае можно записать следую­щее выражение:

d т 8СЛ dx п

dxг’ HtT dx (346)

Уравнение для а„ может быть получено аналогичным способом при использова­нии второй части уравнения (3.15). применяя двойное дн<|)фсрснци|нтание п под­становку уравнения (3.13). что приводит к получению следующего выражения:

1 d7a 1 А/,-А/.

Е. лdx’ ~Т К

І Іовторио дифференцируя это выражение и используя уравнения для равновесия моментов (3.12) и условия равновесия сдвигающих сил, описываемое уравнением (3.10), получаем выражение

1 ЛЧ 2

Ел dx’ " TDa(318)

Для решения любого ряда дифференциальных уравнений должны быть введены граничные условия, и такие решения должны находиться в соответствии с физиче­ской сущностью рассматриваемой задачи. При решении уравнений (3.16) и (3.18) граничными условиями являются:

при г — с, М — Тл — V — 0 и М. = Л/0 и V, = Vn и F — F
при х — — с. М, ‘Гг V’ — 0 и М" — — А/0 н У — и Fa — F.

Необходимо отметить, что граничные условия включают силу сдвига Vj, и момент Л/м, которые были определены для субстрата в области края нахлестки. Приведен­ные граничные условия объединены с выполненным выше анализом и представ ляют следующие граничные условия для оценки растягивающей силы к клеевом слое:

и

J xndx + F = 0,

которое является условием равновесного состояния.

И наконец, іраничіше условия для растягивающих сил могут быть представлены в следующем виде:

Ел w

Iipii. v-±c, fai ~yr • (3.21)

и

(3.22)

После применения граничных условий к приведенным выше Д11(|к[)ерепциальньім уравнениям напряжение сдвига в клеевом слое описывается следующим уравнением:

Выше было показано, что член Сланного уравнения прслставляет собой напряже­ния в субстрате вдали от области клеевого соединения. Уравнение для растягиваю­щих напряжений в клеевом сдое имеет значительно более сложный вид. чем урав­нение для напряжения сдвига, и может быть записано в форме:

(3.25)

Эго чрезвычайно сложное выражение оказывается еще более сложным, когда рассматриваются включенные в него члены, а именно:

К,= sinhXcosX + cosh X sin X;

Д — (sinh2X * sin2X)/2 (3.29)

и

Рассмот|>снные выше математические выражения являются очень сложными и приводят к появлению трудно воспринимаемых уравнений. Однако необходимо от­метить, что большинство членов приведенных выше уравнений относятся к рассмо­тренным в П|)сдыду1цей главе понятиям, например, модулю упругости, кож|)фициен гу І Іуассоиа, моментам, силам сдвига и изгибу балок Довольно правильным подходом к восприятию этих уравнений является рассмотрение графика зависимости напряже­ний при сдвиге и растяжении в клееном слое от расстояния от центра клеевого соеди­нения. Эти графики представлены схематично на рис. 3.14 и 3.15.

На рис. 3.14 показано, чю напряжения сдвига п соединении не являются абсо­лютно однородными. Кроме і ого, в центре клеевого соединения величина напряже­ния сдвига меньше, чем среднее значение напряжения сдвига в клеевом соединении, тогда как у края соединения напряжение сдвига имеет значительно большую вели­чину, чем среднее значение напряжения сдвига в клеевом соединении.

Аналогичная ситуация имеет место при расчете и графическом изображении кривой растягивающих напряжений (рис. 3.15). Необходимо отметить, что когда говорят о растягивающих напряжениях в клеевом слое, имеют в виду напряжения, которые являются перпендикулярными (или «нормальными») по отношению к ис­ходному растягивающему напряжению, приложенному к субстрату. Другими сло­вами. направление приложения этих напряжений перпендикулярно клеевому шву. Из данного рисунка видно, что в цснт[>с соединения [«стягивающее напряжение равно нулю. Это объясняет некоторые из наблюдаемых эффектов при испытали-

ях конструкционных клеев на сдвиг на образцах с нахлесткой. В центре соедине­ния часто наблюдается когезионное разрушение по клеевому слою, несмотря на то что визуально определяется адгезионное разрушение на некотором расстоянии от центра образца. Нормальные напряжения п клеевом шве являются максималь­ными у краев нахлестки. Это явление можно мысленно представить, оценивая, ка­кая часть клеевого соединения должна иметь максимальный изгиб, чтобы сделать линейным приложенное усилие. Одним из вопросов, который не всегда очевиден при математическом анализе, является образование области сжатия непосред­ственно перед резким увеличением растягивающего напряжения. В том случае, когда прикладывается рычаг, должна существовать точка опоры. Область сжатия, рассматриваемая в данном анализе, показывает, что точка опоры для рычага, об­разованного субстратом, находится непосредственно за областью максимального изгиба но направлению к центру клеевого соединения. Далее в настоящей главе будет рассмотрено подобное состояние образца. Наличие нормальных напряжений в таком соединении имеет важные последствия, которые будут рассмотрены в гл. 8.