Лако-красочные материалы — производство

Многообразные реологические свойства реальных тел можно моделировать с пбмощью различных сочетаний рассмотренных идеальных моделей. Сложные модели состоят из нескольких идеальных моделей (элементов), соединенных между собой последовательно или параллельно. При последовательном со­единении элементов полная нагрузка Р приходится на каждый

Элемент, а полная деформация f или ее скорость f складыва­ются из деформаций и скоростей составляюших элементов:

Я=,Р1=Р2= … =Р„

• • • •

T=Ti+T2+ ••• + 7» И 7=^1+^2+…+^ <VII.10>

При параллельном соединении элементов деформации у н

Их скорости ч одинаковы для всех элементов, а полная нагруз­ка складывается из нагрузок отдельных элементов:

/>=/>,+Р2+… +/>„

Ї=Ї1 = Ї2= =їп И = Ъ = Ъ = … ="іп IVII.11>

С помощью этих правил сравнительно просто моделировать реологические свойства реальных тел. Для расширения возмож­ности количественной характеристики реологических свойств реальных тел используют несколько составных идеальных мо­делей. Наиболее важные из этих моделей рассматриваются ниже.

Известно, что нет; принципиального различия в реологичес­ких свойствах реальных жидкостей и твердых тел. Объясняется это тем, что те и другие представляют собой конденсированное состояние вещества, характеризуемое высокой плотностью упа­ковки атомов и молекул и малой сжимаемостью. Жидкости и твердые тела имеют практически одинаковую природу сил сцеп­ления, которые зависят только от расстояния между частица­ми. Еще Максвеллом (более 100 лет назад) было дано пред­ставление о механических свойствах тел как о непрерывном ря­де переходов между идеальными жидкостью и твердым телом. Механические свойства были смоделированы Максвеллом с помощью последовательного соединения элементов Гука и Ньютона (рис. VII.5). Эта модель получила название модели Максвелла.

В модели Максвелла элементы соединены последовательно, поэтому общая нагрузка передается полностью на элементы Гука и Ньютона:

Р=РГ=Р„ (VII.12)

Общая деформация и ее скорость складываются из тех же параметров отдельных элементов:

К=Т(г+їн И df/dx=dfr/dx+d"(H/di: (VII.13>

Подставляя выражения деформаций из соответствующих за­конов (VII.3) и (VII.7), получим:

Р Р dy 1 dP Р

+ и — ЇГ^ІГ-ІГ+Т (VI І. 14)

Уравнения (VII. 14) являются математическим выражением модели Максвелла. Зависимость деформации от ‘времени пред­ставлена на рис. VII.5, б. Наиболее интересна эта модель для

Мгновенной и фиксированной деформации ("( = 001181 и 4 = 0). Такое состояние реализуется при мгновенном растяжении моде­ли с сохранением в дальнейшем постоянной деформации Y — Во время удерживания постоянной деформации возникшее внутреннее напряжение постепенно снижается со временем (ре — лаксирует) вследствие деформирования вязкого элемента. При таких условиях уравнение для скорости деформации принима­ет вид

1 dP Р dP Е

Таг и —(УПЛ5)

Интегрирование в пределах от Ро при т = 0 до Р при т при­водит к соотношению

In — ъ — (= — — т или р Fc= (VII. 16)

Го Л

Где Я = лIE — время релаксации напряжения.

Величина к представляет собой время, в течение которого начальное напряжение Ро в теле уменьшается в е раз. Зем больше к, тем медленнее рассасываются (релаксируют) напря­жения в системе. Полная релаксация напряжений может про­изойти при т = оо. Явление релаксации, как и процесс диффу­зии, связано с тепловым движением молекул или частиц дис­персной фазы тела. Зависимость (VII.16) иллюстрирует рис. VII.5, В.

Модель Максвелла представляет собой упруговязкую жид­кость, которая может течь (релаксировать) под действием лю­бых нагрузок. Для нее характерна необратимость деформаций. Уравнение (VII.16) показывает, что различие между жидкостя­ми и твердыми телами не является резким и носит кинетиче­ский (релаксационный) характер. Если, например, время ре­лаксации значительно больше времени действия напряжения, то тело называют твердым. Если же время релаксации мало по сравнению с временем действия напряжения, то тело ведет себя как жидкость—напряжения уменьшаются благодаря ее течению.

Из сказанного следует, что поведение тела определяется временем действия напряжения по отношению к времени релак­сации. Покажем это на следующем примере. Если время воз­действия нагрузки на типичную жидкость — воду—меньше ее периода релаксации напряжений, то течение произойти не успе­вает, и она ведет себя как упругое твердое тело. Струя воды (т1 = 10~3 Па-с, £=Ю10Па, А,= 10~13 с) раскалывается пулей как хрупкое тело.

Моделью вязкоупругого твердого тела, способного восстанав­ливать свои свойства после снятия нагрузки (эластичность), является модель Кельвина — Фойгта. Она представляет собой соединенные параллельно элементы Гука и Ньютона (рис. VII.6, а). Для этой модели справедливы соотношения

P=*Ey + W или + (VII.17)

Что и является математическим выражением модели Кельви­на — Фойгта.

Деформация ч в таком теле под действием постоянной на­грузки Р0 развивается во времени. Скорость, ее снижается, так как на упругий элемент Гука приходится все большее усилие. Когда скорость деформации уменьшится до нуля, деформация достигнет, максимального значения. При условии постоянного напряжения математическая модель тела Кельвина — Фойгта примет вид

Для решения этого дифференциального уравнения разде­лим переменные:

TOC o "1-3" h z _dy_ _ Л» _ А,,. ___________________ ^V___________ .

Dx ~ ц л V’ (Р0/ц)-(Е/ц)у

V X

И далее J й1п[(Я0/1-|)-(Ј/R|)V]=A — (£/л) J Dx (VII.19) о о

Окончательное решение приводит к следующему уравнению:

Или [1-ехр(-т/0)1 (vii.20)

Где 0=ті/£ — время релаксации деформации (постоянная нагрузка), харак­теризующее эластичность тела.

Если снять напряжение после достижения определенной де­формации, то система возвращается в исходное состояние так­же в течение определенного времени. Применительно к такому воздействию уравнение (VII. 18) должно быть записано без свободного члена (Ро = 0) и имеет решение, аналогичное (VII.16):

. т=То ехр [— ІЕ/ц)х] = То ехр I— т/0) (VI 1.21)

На рис. VII.6, Б, в представлена зависимость деформации у Модели Кельвина — Фойгта от времени при постоянной нагруз­ке Р = Р0 и изменение деформации после снятия нагрузки (Ро = 0). При снятии нагрузки тело возвращается в первона­чальное состояние. В отличие от упругости (El — модуль быст­рой деформации), характеризуемой мгновенными деформация­ми (равновесное состояние достигается со скоростью, близкой к скорости звука в данном теле), эластичность, или упругое последействие, проявляется во времени. Чем больше время ре­лаксации деформации, тем больше эластичность тела. В каче­стве характеристики эластичности часто используют модуль медленной эластической деформации £2 = Р/*. Как правило, гуковские деформации твердых тел не превышают 0,1%, эласти­ческие деформации могут достигать нескольких сот процентов. Такими свойствами обладают, например, полимеры. Эластиче­ские деформации имеют энтропийный характер. Растяжение полимеров приводит к статистически менее вероятному распре­делению конформаций макромолекул, т. е. к уменьшению энтро­пии. После снятия нагрузки образец полимера самопрризвольно

Рис. VII.7. Модель вязкопластического тела Биигама (а) и зависимость деформации (б) и скорости деформации (в) этого тела от напряжения

Сокращается, возвращаясь к наиболее вероятному распределе­нию конформаций, т. е. энтропия возрастает.

Примером тела, проявляющего вязкие или упругие свойства в зависимости от напряжения, является вязкопластическая мо­дель Бингама. Модель Бингама представляет собой комбина­цию из всех трех идеальных элементов: к соединенным парал­лельно элементам Ньютона и Сен-Венана — Кулона последова­тельно присоединен элемент Гука (рис. VII.7). В этой модели при малых напряжениях развиваются только упругие деформа­ции, а. при достижении Р^>РТ имеет место пластическая дефор­мация, растущая до бесконечности (течение вязкопластическо­го тела) (см. рис. VII.7, б). Если проанализировать изменение скорости деформации в зависимости от напряжения, то ока­жется, что модель Бингама можно представить и без упругого элемента, деформация которого не зависит от времени. Иногда эту модель представляют только в виде параллельно соединен­ных вязкого элемента (модели Ньютона) и элемента сухого трения. Сложение деформаций и учет независимости упругой деформации от времени приводит к математической модели вязкопластического тела— Бингама:

(VI 1.22)

Где г)* — пластическая вязкость.

Скорость деформации равна нулю при Р<РТ, и только при Р>Рт она возрастает с увеличением напряжения (рис. VII.7, в). При Рт = 0 соотношение (VII.22) переходит в закон Ньютону. Напряжение Р разбивается как бы на две составляющие: на­пряжение Рт, необходимое для разрушения структуры, и напря­жение Р—Рт, осуществляющее собственно течение.

По физическому смыслу пластическая вязкость отличается от ньютоновской вязкости г]. Графически она определяется котангенсом угла а наклона прямой, которая выходит из точ-

Ки P = Pr. Соотношение между ньютоновской и пластической вязкостью

Т,= (рт+Т,^)/-{=Т1*+Рт/І (VII.23)

Показывает, что ньютоновская вязкость учитывает все виды сопротивления течению тела, а пластическая вязкость, являясь частью ньютоновской, не учитывает прочности структуры, ха­рактеризуемой величиной Рт, но отражает скорость ее разру­шения.

В данном разделе рассмотрены наиболее важные составные модели, позволяющие определить некоторые распространенные характеристики свойств тел. Таким же способом можно моде­лировать реологические свойства практически всех реальных тел, составляя довольно сложные комбинации из трех идеаль­ных элементов.