Лако-красочные материалы — производство

Если мы пренебрегаем силой тяжести и другими массовыми силами, дифференциальное уравнение переноса импульса в ка­кой-либо точке двухфазной системы имеет вид

Dv ~

(13)

Где оператор dldt обозначает субстанционную производную. Так как наша система несжимаема, то уравнение непрерывно­сти дирамики жидкости указывает на равенство: dpldt = О, и, следовательно, р и dldt в уравнении (13) можно переставить. Я проинтегрирую обе части уравнения (13) по малому объему, изображенному на рис. 2, преобразуя правую часть в инте­грал по поверхности с помощью теоремы Гаусса. Так как гра­ницы этого малого объема, как отмечалось, движутся вместе с жидкостью, перенос оператора dldt из-под знака интеграла влево дает

■Jfl\pVdxdydz = ^PdS (14)

Где dS — вектор элемента поверхности с внешней нормалью.

Уравнение (14) является точным, но для получения макро­скопического граничного условия (2) надо ввести теперь под­ходящие приближения. Внутри объемной фазы [где (14) также справедливо] в этом месте анализа обычно разлагают подын­тегральное выражение в обеих частях (14) в ряд Тэйлора по степеням х, уу z около средней точки рассматриваемого объема. Однако, когда мы имеем дело с межфазной областью, это вы­полнимо не полностью поскольку, как мы уже отмечали, локаль­
ные свойства в последней быстро меняются вдоль оси z, так что ряд Тэйлора по степеням z оказался бы медленно сходя­щимся. С другой стороны, локальные свойства слабо зависят от х и у, так что разложение в ряд Тэйлора в плоскости, па­раллельной межфазной поверхности, допустимо. Восполь­зуемся главным членом такого разложения в объемном инте­грале в левой части уравнения (14):

J J J pVdxdydz= Ax Ay J pV dz (15)

Приближенное вычисление поверхностного интеграла в пра­вой части (14) более сложно. Рассмотрим вначале вклад в него от «потолка». Поток импульса через верхнюю поверхность на рис. 2 является вектором (рЦ, рЦ), где индекс II означает,

Что компоненты тензора вычислены при Z = ——AZ. Я раз­лагаю каждую компоненту рЦ в ряд Тэйлора по х и у и удер­живаю только главный член:

J j dx dy = Ax АурЦ; i = x, y, z (16)

Подобным же образом вклад от «пола» поверхности при Z = Y Az оказывается равным:

J J рг dx dy =? — Ах Аур]г; L = х, у, z (17)

Сумма уравнений (16) и (17) представляет полный перенос трех компонент импульса вдоль нормального направления;

Полный нормальный перенос равен:

П

Piz> i=x,y,z (18)

В плоскости межфазной поверхности поток импульса вдоль оси х является вектором (Рхх, рху, Pxz). Я разлагаю каждую компоненту тензора в ряд Тэйлора по х около точки х = 0.

На правой стенке при х = + А* с точностью до двух членов:

+ (19)

На левой стенке при х ————— Ая:

Полный поток является разностью уравнений (19) и (20), откуда проинтегрированный по боковым поверхностям полный тангенциальный перенос вдоль оси х равен:

J J Pxi dy dz — Ax Ay J |DpXi (Z)/dx] dz i = x, y, z

Читатель должен заметить, что в уравнениях (19)—(21)

Значительная зависимость компонент тензора и их производ­ных от z в явном виде отражена в обозначениях. Перенос импульса вдоль оси у аналогичен:

J J Pyi dy dz = Ax Ay J [dpyi (z)/dy] dz

Объединяя уравнения (15), (18), (21) и (22), получаем запи­санное в компонентах уравнение баланса импульса (14) с точ­ностью до членов порядка Ад: А у:

П

WpVxdz= Рхг+ [

I

II

Дрл

+ оу

I

}Pyz

Ду J

Следующий этап анализа — это подстановка анизотропной формы тензора давлений (12) в уравнения (23) и отождествле­ние компонент скорости изменения тензора деформаций s(/- с симметричной частью градиента поля скорости (подробно см. в Приложении /). В результате уравнения (23) преобра­зуются к виду:

Нормальная составляющая —

П

J PV2 dz = Ргг + J ii" Ц dz + J ii"Vz dz

Тангенциальные составляющие —

И

Pxz-~G7fPtdz + I

П

WpVvdz= pyz-1-ptdz +

Dz

Нетрудно видеть, что уравнение (24), выражающее баланс нормальной составляющей импульса, отличается по форме от уравнений (25), которые выражают баланс двух танген­циальных составляющих. Это различие существенным обра­зом происходит от анизотропии межфазной поверхности.