Лако-красочные материалы — производство

Начнем исследование с выбора маленького межфазного слоя, математические границы которого движутся вместе с жид­костью в обычном гидродинамическом смысле. Рис. 2 надо представить себе математически вырезанным из середины рис. 1. Толщина Az мала в лабораторной шкале, но достаточно велика в. микроскопической, так что верхняя поверхность (в дальней­шем называемая «потолком») лежит далеко внутри области, где преобладают свойства фазы II, тогда как нижняя поверх­ность («пол») также лежит достаточно далеко внутри фазы I. Над полом и потолком реализуются указанные значения плот­ностей р и сдвиговых вязкостей р объемных фаз. Таким обра­зом, ДzQ достаточно велика, чтобы охватить всю анизотропию межфазной области. В данный момент я не принимаю никакого условия относительно положения контрольной плоскости 2 = 0 внутри области между полом и потолком.

Для статического случая известно, что внутри объемных

/ч

Фаз тензор давлений Р является изотропным:

/-Р О 0

? J 0 — р о (3)

0 0 — р)

Внутри межфазной области мы, тем не менее,, последуем Баккеру [15] и предположим, что тензор давлений аксиально симметричен относительно оси г. Общая теорема тензорного анализа утверждает, что аксиально-симметричный тензор второго ранга может иметь самое большее две независимые компоненты, а именно: Pt и рп

Переход через межфазную область в одну из объемных фаз сводит (4) к (3), т. е. Pt и рп есть функции от z, причем рп =

= Pt = р при Z = ± — Аг. Баккер использовал эту модель

X

Рис. 2. Образец плоской межфазной поверхности с разме­рами Ах Ay Az.

Ось г выбрана так, чтсбы диагонализовать статическую часть тензора давлений [см. уравнение (4)].

Толщина Дг выбрана достаточной, чтобы приписать свойства

Объемных фаз «полу» при—- — Дг и «потолку» при — i — А г.

^ 2 Положение разделяющей поверхности г = 0 не определено.

Для выражения поверхностного натяжения 7 через интеграл:

+ т Д2

С 00

? = J (Pn-Pt)dz-+ [ (pn — pt)dz (5)

1

— 4г Дг

2

Если жидкости движутся, к статическому тензору давле­ний необходимо добавить дополнительные члены. Я предпо­ложу здесь, что адекватной является ньютонова модель, так что внутри объемных фаз новая форма тензора давлений (3) имеет вид

Pt, = + i i °7‘тп W

Т п

Где — символ Кронекера;

Cfj1 — коэффициенты вязкости объемных фаз жидкостей, являющиеся компонентами тензора четвертого ранга; Smn — компоненты скоростей изменения тензора дефор­маций.

Можно предположить, что внутри объемных фаз тензор сТр изотропен и, следовательно, общие соображения тензорного анализа [16] требуют, чтобы он обладал самое большее двумя независимыми компонентами. В качестве этих компонент я
выберу коэффициенты Ламэ X и р; тогда для (3) получаем в яв­ном виде:

Рхх = — Р + 4" 2ц) + Ъуу -f- Kszz Puu = — P 4- ^Xx + + 2m) Syy + Lszz

(7)

Ргг = — P + ^ХХ + Ц/0 + (1 + 2ll) SZg Pxy = 2= 2[xs^2; = 2,usU2

Уравнения (7) — это материальные соотношения для изо­тропной ньютоновской жидкости. Рели использовать их для записи закона сохранения при переносе импульса, придем к уравнениям Навье—Стокса динамики жидкости. В межфаз­ной области мы имеем, однако, веские основания полагать, что локальные свойства жидкости не являются более изотропными, и, обобщая (6), заменим статическую часть тензора давлений

На (4) и потребуем, чтобы тензор с1)п обладал аксиальной сим­метрией, т. е. чтобы он был инвариантным при любых враще­ниях системы координат вокруг оси z.

Общая теорема тензорного анализа [16] утверждает, что аксиально-симметричный тензор четвертого ранга может иметь самое большее пять независимых компонент, обозначенных здесь через к, V, р, р’ и р", так что в явном виде для межфаз­ной области имеем:

Рхх = —Pt + (>-‘ + 2[х’) Sxx + К’Syy + Lszz

Руу = —Pt 4-‘Vsxx 4- (А/ + 2i’) Syy + %s„ Pzz — —Pn 4- Hsxx 4- Lsl/Y 4- (K 4- 2N) Szz

Pxy — 2t’sXy~, pxz = 2ц sxz; PyZ = 2ц syz

Так как (8) должно сводиться к (7) вне межфазной области, то очевидно, что X, V, р, р/ и р" являются функциями от Z,

Принимающими при г — ± Az асимптотические значения X1,

Я,11 или р1, р11. Таким образом, пять коэффициентов вязкости обладают общим свойством с р( и р, а именно: каждый из них в межфазной области меняется быстро, но непрерывно.

В настоящее время все опыты по капиллярной реологии проводят при таких условиях, что объемные фазы I и II можно рассматривать как несжимаемые. Поэтому рассмотрим только этот важный частный случай, наложив ограничение

+ о,9)

На уравнения (7) и (8).

Уравнения (7) упрощаются и принимают вид

Pij = — Pbii + 2|is/7 (10)

В изотропных объемных фазах, тогда как в анизотропной меж­фазной области я определяю из (9) локальную скорость дила — тации соотношением

9=*Sxx + Syy = —Szz = Vs-V (И)

И исключая szz из уравнений (8):

Рхх = —PL+ — 0 + 2[l’sxx

Руу = —Pt + (Ь’ — Ц 0 + 2FT’syy

Ргг = —Рп — 2ц8 Рху — 2}l.’SjСу’, рхг — 2ц sxz Pyz = 2L"SyZ

Ограничение на несжимаемость (9) свело Число коэффи­циентов поверхностной вязкости к четырем, так как в (12) фигурирует только разность U—X.